Sphärische Trigonometrie

Die sphärische Trigonometrie ist eine Reihe von Beziehungen, die denen der euklidischen Trigonometrie ähnlich sind, jedoch auf den auf einer Kugel markierten Winkeln und Abständen .

Die Grundfigur ist das kugelförmige Dreieck, das entweder durch Segmente von Geraden, aber durch Bögen von Halbgroßkreisen der Kugel begrenzt wird. Die üblichen Regeln der euklidischen Trigonometrie gelten nicht; zum Beispiel ist die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Kugel, wenn sie in Grad ausgedrückt wird, größer als 180 Grad.

Kugelförmiges Dreieck

Konventionen

Kugeldreieck mit seinen großen Kreisen und seinen Mittelpunktswinkeln (der Winkel a wird mit BC identifiziert, wenn wir annehmen, dass der Radius gleich 1 ist)

Wir betrachten drei Punkte A , B und C auf einer Kugel, wie sie durch die nebenstehende Figur dargestellt sind, sowie die Bögen großer Kreise, die sie verbinden. Wir bezeichnen α (manchmal ) den Winkel des Dreiecks an der Ecke A und in ähnlicher Weise für die anderen Ecken. Wir bezeichnen mit a , b und c die Winkel, die im Mittelpunkt O der Kugel durch den entsprechenden Teil des Großkreises begrenzt werden. So a bezeichnet den Winkel , usw. ${\ displaystyle {\ Hut {A}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {BOC}}}}$

Natürlich werden die Längen aus a , b und c abgeleitet, indem man sie mit dem Radius der Kugel multipliziert, wenn die Winkel im Bogenmaß ausgedrückt werden (oder durch Multiplizieren mit π R / 180, wenn sie in Grad ausgedrückt werden).

Die Winkelsumme eines Kugeldreiecks kann zwischen 180 und 540° (zwischen π und 3π im Bogenmaß) variieren .

Anschließend werden nur nicht entartete Dreiecke (deren Winkel alle streng zwischen dem Nullwinkel und dem flachen Winkel liegen) betrachtet.

Grundformeln

Kosinusformel und duale Beziehung

Eine der wichtigsten Beziehungen in der sphärischen Trigonometrie, die François Viète 1593 in seinem De Varorium angibt, ist die Kosinusformel , die die Länge einer Seite mit der von zwei anderen Seiten sowie dem Winkel zwischen ihnen in Beziehung setzt:

${\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,}$

das sollte nicht mit der dualen Relation verwechselt werden , die man erhält, indem man in dieser Relation alle Großkreise durch ihre Polarpunkte ersetzt  :

${\displaystyle\cos\gamma=-\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta\,\cosc~.}$

Die Kosinusformel wird auf verschiedene Weise demonstriert. Eine davon besteht darin, das Skalarprodukt im umgebenden euklidischen Raum zwischen den Vektoren, die den Mittelpunkt O der Kugel mit den Punkten A und B verbinden, auf verschiedene Weise auszudrücken.

Die Kosinusformel ermöglicht es insbesondere, die Entfernung zwischen zwei Punkten A und B auf der Erde, die durch eine Kugel modelliert werden, nach ihren Breiten- und Längengraden zu berechnen . Dazu platzieren wir C am Nordpol, so dass a das Komplementär zum Breitengrad ϕ _A von A ist , b das Komplementär zu ϕ _B von B und γ der Längenunterschied . Wir beziehen direkt: ${\ displaystyle \ Delta \ lambda = \ lambda _ {\ mathrm {B}} - \ lambda _ {\ mathrm {A}}}$

${\ displaystyle d _ {\ mathrm {AB}} = R \, c = R \ arccos {\ left (\ sin \ phi _ {\ mathrm {A}} \ sin \ phi _ {\ mathrm {B}} + \ cos \ phi _ {\ mathrm {A}} \ cos \ phi _ {\ mathrm {B}} \ cos \ Delta \ lambda \ right)}}$,

wobei R ≈ 6.371  km der mittlere Erdradius ist .

Sinusformel

Beachten Sie, dass gemäß der oben erwähnten dualen Beziehung ein sphärisches Dreieck durch seine drei Winkel bestimmt wird, was sich stark vom Fall des euklidischen Dreiecks (Ebene) unterscheidet . Es gibt eine perfekte Analogie (der Dualität) im sphärischen Dreieck zwischen den Längen der Seiten und den Winkeln an den Scheitelpunkten. Die Sinusformel veranschaulicht diese Analogie:

${\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} ~,}$

oder :

${\ displaystyle \ sin a: \ sin b: \ sin c = \ sin \ alpha: \ sin \ beta: \ sin \ gamma ~,}$

was zu verstehen ist als "die drei Größen auf der linken Seite haben die gleichen Proportionen wie die drei Größen auf der rechten Seite (das Verhältnis zwischen zwei beliebigen auf der linken Seite ist das gleiche wie das entsprechende Verhältnis auf der rechten Seite)" .

Dritte Grundformel und duale Beziehung

Die Kosinusformel kann auch in der Form geschrieben werden:

${\ displaystyle \ cos \ gamma = {\ frac {\ cos c- \ cos a \, \ cos b} {\ sin a \, \ sin b}} ~.}$

Analoge Ausdrücke für cos α und cos β leiten wir ab, was manchmal als die dritte Grundformel der sphärischen Trigonometrie (die ersten beiden sind die von Kosinus und Sinus), die drei Längen auf zwei Winkel des Dreiecks bezieht:

${\ displaystyle \ sin c \ cos \ beta = \ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b \ cos \ gamma ~.}$

Interessant ist die Ähnlichkeit mit der Kosinusformel

${\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~}$.

Die duale Relation kann ihrerseits geschrieben werden:

${\ displaystyle \ sin \ gamma \ cos b = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ cos c ~,}$

mit der dualen Beziehung der Kosinusformel zu vergleichen

${\displaystyle\cos\gamma=-\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta\,\cosc~}$.

Kotangentialformel

Aus der dritten Grundformel erhalten wir leicht die letzte Formel namens Kotangens , die vier aufeinanderfolgende Elemente des Kugeldreiecks verbindet:

${\ displaystyle \ sin c \ cot b = \ sin \ alpha \ cot \ beta + \ cos \ alpha \ cos c ~.}$

Um diese Formel zu erhalten, genügt es, die duale Beziehung der dritten Grundformel durch sin β zu dividieren und dann die Formel der Sinus zu verwenden.

Demonstration grundlegender Formeln

a , b und c bezeichnen die Längen, A , B und C bezeichnen die Eckpunkte, α , β und γ bezeichnen die Winkel des Kugeldreiecks.

Demonstration durch Referenzwechsel

1) Wir bilden zwei direkte orthonormale Bezugssysteme R und R ' mit demselben ersten Vektor, und zwar so, dass A der Nordpol des dem ersten Bezugsrahmen zugeordneten Kugelkoordinatensystems und B der Nordpol des zweiten ist. Wir merken und mit ${\ displaystyle R = (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}$${\ displaystyle R '= (O, {\ overrightarrow {i'}}, {\ overrightarrow {j '}}, {\ overrightarrow {k'}})}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {k}} = {\ overrightarrow {OA}}, ~ {\ overrightarrow {k '}} = {\ overrightarrow {OB}} ~.}$

Wir nehmen dann:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {i}} = {\ overrightarrow {i '}} = {1 \ over \ sin c} {\ overrightarrow {k}} \ Keil {\ overrightarrow {k'}} = {1 \ over \ sin c} {\ overrightarrow {OA}} \ Keil {\ overrightarrow {OB}} ~.}$

Wir können ableiten:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {j}} = {\ overrightarrow {k}} \ Keil {\ overrightarrow {i}} = {1 \ over \ sin c} [{\ overrightarrow {OA}} \ Keil ({\ overrightarrow {OA}} \ Keil {\ overrightarrow {OB}})] ~.}$

Die Formel des Doppelkreuzprodukts führt zu:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {j}} = {1 \ over \ sin c} ((OA | OB) {\ overrightarrow {OA}} - || OA || ^ {2} {\ overrightarrow {OB}}) = {1 \ über \ sin c} (\ cos c ~ {\ overrightarrow {OA}} - {\ overrightarrow {OB}}) ~.}$

Gleichfalls:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {j '}} = {1 \ over \ sin c} [{\ overrightarrow {OB}} \ Keil ({\ overrightarrow {OA}} \ Keil {\ overrightarrow {OB}})] = {1 \ über \ sin c} ({\ overrightarrow {OA}} - \ cos c ~ {\ overrightarrow {OB}}) ~.}$

2) Die Referenzänderung (von R nach R' ) ist eine Drehung im Raum um die gemeinsame Achse der beiden Referenzmarken. Als der Winkel zwischen und ist c , schließen wir , dass die Übergangsmatrix ist: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {OB}}}$

${\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos c & - \ sin c \\ 0 & \ sin c & \ cos c \ end {pmatrix}} ~.}$

3) Wir geben nun die Koordinate C in der Referenz R an .

Wir bemerken, dass b die Kolatitude im Kugelkoordinatensystem des Nordpols A ist , das dem kartesischen Koordinatensystem zugeordnet ist, während α den Winkel (am Pol) zwischen dem Vektor und der vertikalen Halbebene ( A , O , C ) bezeichnet. daher ist der Längengrad α- (π / 2) .${\ displaystyle - {\ overrightarrow {j}}}$

Wir folgern, dass C mit Kugelkoordinaten im ersten Bezugssystem kartesische Koordinaten hat:${\ displaystyle [1, \ alpha - {\ pi \ über 2}, b]}$

${\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} \ sin b \ sin \ alpha \\ - \ sin b \ cos \ alpha \\\ cos b \ end {pmatrix}} ~.}$

4) Die Koordinaten von C sind in der zweiten Referenz R ' in gleicher Weise angegeben .

Diesmal ist der Nordpol Punkt B , der Kolatitude ist a und β ist der Winkel, den die vertikale Halbebene ( B , O , C ) mit dem Vektor bildet , also ist der Längengrad (π / 2) - β .${\ displaystyle {\ overrightarrow {j '}}}$

Wir folgern, dass C mit Kugelkoordinaten im zweiten Bezugssystem kartesische Koordinaten hat:${\ displaystyle [1, {\ pi \ over 2} - \ beta, a]}$

${\ displaystyle X '= {\ begin {pmatrix} \ sin a \ sin \ beta \\\ sin a \ cos \ beta \\\ cos a \ end {pmatrix}} ~.}$

5) Die Basisänderungsformel wird dann geschrieben:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sin b \ sin \ alpha \\ - \ sin b \ cos \ alpha \\\ cos b \ end {pmatrix}} = X = PX '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos c & - \ sin c \\ 0 & \ sin c & \ cos c \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sin a \ sin \ beta \\\ sin a \ cos \ beta \\\ cos a \ end {pmatrix}} ~.}$

Wir leiten auf einmal die Sinusformel, die dritte Grundformel der Kugeltrigonometrie und die Kosinusformel ab:

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sin b \ sin \ alpha = \ sin a \ sin \ beta \\\ sin b \ cos \ alpha = \ sin c \ cos a- \ cos c \ sin a \ cos \ beta \\\ cos b = \ sin c \ sin a \ cos \ beta + \ cos c \ cos a ~. \ end {cases}}}$

Nachweis über die Verwendung des Punktprodukts

Betrachten Sie ein sphärisches Dreieck ABC auf der Oberfläche einer Kugelmittelpunkteinheit O . Projizieren des durch die Punkte A und C auf die OB - Achse bei F und jeweils E . Also haben wir :

${\ displaystyle {\ overrightarrow {FA}} = FA {\ vec {k}}; \ quad {\ overrightarrow {EO}} = EO {\ vec {i}}; \ quad {\ overrightarrow {EC}} = EC {\vec {h}}}$

Beachten Sie, dass es sich um ein orthonormales Koordinatensystem handelt, also senkrecht zu und nicht parallel zu ist . Es folgt: ${\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}$${\ displaystyle {\ vec {h}}}$${\ displaystyle {\ vec {i}}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}} = - OE {\ vec {i}} + EC {\ vec {h}}; \ quad {\ overrightarrow {OA}} = - OF {\ vec {i}} + FA {\ vec {k}}}$

Andernfalls :

${\ displaystyle OE = OC \ cos (a) = \ cos (a); \ quad AF = AO \ sin (c) = \ sin (c); \ quad EC = OC \ sin (a) = \ sin (a ); \ quad OF = AO \ cos (c) = \ cos (c)}$

deshalb :

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = (- OE \, {\ vec {i}} + EC \, {\ vec {h}}) (- OF \, { \ vec {i}} + FA \, {\ vec {k}}) = (OE \ cdot OF) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}}) = \ cos (a) \ cos (c) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}})}$

Gold :

${\ displaystyle {\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}} = EC \ cdot FA \ cdot \ cos (\ beta) = \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta); \ quad {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = \ cos (b)}$

deshalb :

${\ displaystyle \ cos (b) = \ cos (a) \ cos (c) + \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta)}$.

Durch zirkuläre Permutation erhalten wir die verschiedenen Beziehungen: ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ cos (b) = \ cos (a) \ cos (c) + \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta) \\\ cos (c) = \ cos (b) \ cos (a) + \ sin (b) \ sin (a) \ cos (\ gamma) \\\ cos (a) = \ cos (c) \ cos (b) + \ sin (c ) \ sin (b) \ cos (\ alpha) \ end {Fälle}}}$

Andere Formeln

Halbwinkel- und Halbseitenformeln

Sei s =1/2( a + b + c ) der halbe Umfang des Dreiecks. Also haben wir:

${\ displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {\ gamma} {2}} = {\ frac {\ sin (sa) \, \ sin (sb)} {\ sin s \, \ sin (sc)} }}$

und für duale Formeln mit σ =1/2( α + β + γ )  :

${\ displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {c} {2}} = - {\ frac {\ cos \ sigma \, \ cos (\ sigma - \ gamma)} {\ cos (\ sigma - \ alpha ) \, \ cos (\ sigma - \ beta)}}}$.

Die Formeln, die wie die Fundamentalbeziehung einen Winkel im Zentrum auf die drei Seiten des Kugeldreiecks beziehen, enthalten keine Summe. Sie wurden häufig für praktische Berechnungen mit Logarithmustabellen verwendet.

Gauß- Formeln

Wir haben :

${\ displaystyle {\ frac {\ cos {\ frac {a + b} {2}}} {\ cos {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ gamma} {2}}}}}$ und ${\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ frac {a + b} {2}}} {\ sin {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ gamma} {2}}}}}$

ebenso gut wie :

${\ displaystyle {\ frac {\ cos {\ frac {ab} {2}}} {\ cos {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha + \ Beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}}}}$ und ${\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ frac {ab} {2}}} {\ sin {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha - \ Beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}}} ~.}$

Wir leiten das Tangentengesetz in der sphärischen Trigonometrie her  :

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {ab} {2}}} {\ tan {\ frac {a + b} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}} ~.}$

Napier- Analogien

Sie werden erhalten, indem man die Formeln von Gauß zwei mal zwei kombiniert:

• ${\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {a + b} {2}} \ cos {\ frac {\alpha + \beta} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {ab} {2}} \ sin {\ frac { \alpha + \beta} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ cos {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {a + b} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ sin {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ sin {\ frac {a + b} {2}}}$

Fläche des Kugeldreiecks

Im Englischen ist es als Girard- Formel bekannt . Bemerkenswert ist, dass die Fläche des sphärischen Dreiecks sehr einfach aus seinen drei Winkeln berechnet wird: Sie ist genau gleich seinem "euklidischen Defekt" (Differenz zwischen der Summe der Winkel des Dreiecks und π ) multipliziert mit dem Quadrat des Radius R der Kugel. Ist:

${\ displaystyle S = (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi) R ^ {2} = R ^ {2} \ varepsilon}$

Hinweis: ε ist ein Raumwinkel ausgedrückt in Steradiant (für und ausgedrückt in Radiant). Es wird sphärischer Überschuss genannt . ${\ displaystyle \ alpha, \, \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

Diese Formel ist elementar dargestellt. Es erfolgt in drei Stufen:

• Wenn die Kugel  durch zwei diametrale Ebenen in vier Sektoren („  sphärische Zeitzonen “ oder „Monde“ in Legendre) geschnitten wird, ist die Fläche eines der so ausgeschnittenen Sektoren proportional zum Winkel der beiden Ebenen. Es lohnt sich daher:${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle {2 \ alpha R ^ {2}}}$.
• Die drei diametralen Ebenen, die ein sphärisches Dreieck definieren, schneiden auf der Kugel zwölf Spindeln aus, von denen sechs dieses Dreieck oder seine Symmetrie enthalten, der gleichen Fläche in Bezug auf den Mittelpunkt der Kugel. Diese sechs Spindeln bedecken die Kugel, wobei das Dreieck und seine Symmetrie jeweils dreimal, der Rest nur einmal bedeckt wird. Somit ist die Summe der Flächen der sechs Spindeln die der Kugel viermal vergrößert um die des Dreiecks. Es folgt:

${\ displaystyle {2 (2 \ alpha R ^ {2} +2 \ beta R ^ {2} +2 \ gamma R ^ {2}) = 4 \ pi R ^ {2} + 4S}}$.

• Also nach der Transformation:

${\ displaystyle {S = (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi) R ^ {2}}.}$

Diese von Thomas Harriot entdeckte , aber nicht veröffentlichte Formel wurde erstmals um 1625 von Albert Girard angegeben .

Öl-Mengen- Formel

Diese Formel ist analog zu Herons Formel, die die Fläche eines euklidischen Dreiecks basierend auf seinen Seiten berechnet, und dasselbe für das sphärische Dreieck:

${\ displaystyle \ tan {\ frac {s} {2}} \ tan {\ frac {sa} {2}} \ tan {\ frac {sb} {2}} \ tan {\ frac {sc} {2} } = \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}}}$

(Denken Sie daran, dass wir s = . genannt haben1/2( a + b + c ) der halbe Umfang).

Spezialfall des sphärischen rechtwinkligen Dreiecks

Die folgenden Formeln können als Sonderfälle der obigen Formeln gezeigt werden , sind aber historisch vor denen auf dem Dreieck einen angesiedelten von arabischen Mathematiker X ^e bis XIII - ^ten  Jahrhundert. Sie sind sechs an der Zahl. Im Übrigen verwenden wir die zuvor aufgestellten Notationen und betrachten ein rechtwinkliges Dreieck in C.

Formel 1  : In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus einer Seite gleich dem Sinus der Hypotenuse multipliziert mit dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels: ${\ displaystyle \ sin \, a = \ sin \, c \ sin \, \ alpha.}$ Diese Formel ist ein Sonderfall der Sinusformel.

Formel 2  : In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Cosinus der Hypotenuse gleich dem Produkt der Cosinus der anderen beiden Seiten: ${\ displaystyle \ cos \, c = \ cos \, b \ cos \, a.}$ Diese Formel ist ein Sonderfall der Kosinusformel.

Formel 3  : In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Kotangens eines Winkels gleich dem Cosinus der Hypotenuse multipliziert mit dem Tangens des anderen Winkels: ${\displaystyle\cot\,\alpha=\cos\,c\tan\,\beta.}$ Diese Formel ist ein Spezialfall der dualen Beziehung der Kosinusformel.

Formel 4  : In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines Winkels gleich dem Kosinus der gegenüberliegenden Seite multipliziert mit dem Sinus des anderen Winkels: ${\ displaystyle \ cos \, \ alpha = \ cos \, a \ sin \, \ beta.}$ Diese Formel ist ein Sonderfall der Kosinusformel.

Formel 5  : In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Tangente einer Seite gleich der Tangente der Hypotenuse multipliziert mit dem Kosinus des angrenzenden Winkels: ${\ displaystyle \ tan \, a = \ tan \, c \ cos \, \ beta.}$ Diese Formel ist ein Spezialfall der dritten Grundformel.

Formel 6  : In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Tangente auf einer Seite gleich der Tangente des gegenüberliegenden Winkels multipliziert mit dem Sinus auf der anderen Seite: ${\ displaystyle \ tan \, a = \ tan \, \ alpha \ sin \, b.}$ Diese Formel ist ein Sonderfall der Kotangensformel.

Diese trigonometrischen Beziehungen sind mit denen des rechtwinkligen Dreiecks in der Ebene zu vergleichen. Da wir wissen, dass BC / R = a und ein Dreieck in einer Ebene ein Dreieck auf einer Kugel mit unendlichem Radius ist, können wir die begrenzten Erweiterungen verwenden: ${\ displaystyle \ sin\, a = a + o (a ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ cos \, a = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {2}} + o (a ^ {3})}$ in den Formeln ggf. mit R oder R² multiplizieren und bis zur Grenze gehen.

Wir erhalten dann:

• Formel 1  :${\ displaystyle BC = AB \ sin \, \ alpha}$
• Formel 2  :${\ displaystyle AB ^ {2} = BC ^ {2} + AC ^ {2}}$

  Diese Gleichheit rechtfertigt die Tatsache, dass Formel 2 oft als Satz des Pythagoras für das sphärische rechtwinklige Dreieck bezeichnet wird.

• Formel 3  :${\ displaystyle \ cot \, \ alpha = \ tan \, \ beta}$
• Formel 4  :${\ displaystyle \ cos \, \ alpha = \ sin \, \ beta}$
• Formel 5  :${\ displaystyle BC = AB \ cos \, \, \ beta}$
• Formel 6  :${\ displaystyle BC = CA \ tan \, \ alpha}$

Zurück zur ebenen Trigonometrie

Bei der sphärischen Trigonometrie wird die Arbeit an den Winkeln α , β , γ des Dreiecks und an den Mittelpunktswinkeln a , b , c verrichtet , die die Bögen BC, CA, AB schneiden. Wenn wir die Längen a ' , b' , c ' der Seiten des Dreiecks bearbeiten wollen , ist es notwendig (wenn man bedenkt, dass die Winkel im Bogenmaß ausgedrückt werden) die Umrechnungen a = a' / R , b = b ' / R , c = c ' / R

Wir können uns dann über das Schicksal der Formeln für ein Dreieck wundern, dessen Abmessungen a ' , b' , c ' konstant bleiben, während der Radius der Kugel unendlich wächst und das kugelförmige Dreieck dann eine Ebene oder ein euklidisches Dreieck wird.

Grenzen

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ sin h} {h}} = 1}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1- \ cos h} {h ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}}}$

zulassen bis an die Grenze

${\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ sin a = a '}$

${\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} 2R ^ {2} (1- \ cos a) = a '^ {2}}$

${\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R (1- \ cos a) = 0}$

und erlauben den Ersatz der linken Gliedmaßen durch die rechten Gliedmaßen, wenn der Radius unendlich groß ist.

Kosinusformel

Bemerken, dass:

${\ displaystyle 1- \ cos a \ cos b = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) \ ,,}$

die Formel

${\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma}$

kann sich in verwandeln

${\ displaystyle 1- \ cos c = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) - \ sin a \, \ sin b \, \cos\gamma~,}$

dann durch Multiplikation mit 2 R ² und durch die angekündigten Ersetzungen

${\ displaystyle c '^ {2} = a' ^ {2} + b '^ {2} -2a'b' \ cos \ gamma ~.}$

Lass das Kosinusgesetz ebene

Die duale Form hingegen ergibt die Gleichheit

${\displaystyle\cos\gamma=-\cos\alpha\,\cos\beta+\sin\alpha\,\sin\beta=-\cos(\alpha+\beta)}$

daran erinnernd, dass die Winkel γ und α + β in einem ebenen Dreieck zusätzlich sind.

Sinusformel

Es wird sofort aus der Formel in der sphärischen Trigonometrie übersetzt, indem es mit R multipliziert wird  :

${\ displaystyle {\ frac {a '} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b'} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c '} {\ sin \ gamma}} ~,}$

Reiher-Formel

Durch Multiplizieren der Huilier-Formel mit R ^{4 erhalten} wir:

${\ displaystyle R \ tan {\ frac {s} {2}} R \ tan {\ frac {sa} {2}} R \ tan {\ frac {sb} {2}} R \ tan {\ frac {sc } {2}} = R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}}}$

Gold

${\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ tan {\ frac {s} {2}} = {\ frac {p '} {2}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ tan {\ frac {sa} {2}} = {\ frac {p'-a'} {2}}}$

wobei p ' die Halbsumme der Seiten des Dreiecks ist. Wir können ableiten:

${\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}} = {\ frac {p '(p'-a') ( p'-b ') (p'-c')} {16}}}$

Oder wiederum, da ε / 4 und tan ( ε / 4) äquivalent sind:

${\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ varepsilon ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b') (p'-c')}$

Durch Ersetzen in der Formel für die Fläche und Überschreiten der Grenze:

${\ displaystyle S ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b') (p'-c')}$

das ist die Formel der ebenen Geometrie von Heron .

Polardreieck

Dreieck (ABC) und sein Polardreieck (A'B'C'). (OC') ist die Drehachse des Großkreises (AB) usw.

Auf einer Kugel mit Mittelpunkt O betrachten wir zwei Punkte A und B, die verschieden und nicht diametral entgegengesetzt sind. Die Linie, die durch O verläuft und orthogonal zur Ebene OAB verläuft, trifft die Kugel an zwei Punkten, die als Pole der Ebene (OAB) bezeichnet werden.

Für ein Dreieck ABC, das auf einer Kugel gezeichnet ist, nennen wir C 'den Pol der Ebene (OAB), der sich auf derselben Halbkugel wie C befindet. Wir konstruieren die Punkte A' und B' auf die gleiche Weise. Das Dreieck (A'B'C ‚) das genannte polare Dreieck des Dreiecks ABC.

Konstruktionsbedingt schneiden die Großkreise (C'B') und (C'A') den Großkreis (AB) im rechten Winkel. Gleiches gilt für die beiden Großkreise (B'A') und (B'C') für den Großkreis (AC) usw. Die Seiten des Polardreiecks stehen also jeweils senkrecht auf zwei Seiten des ursprünglichen Dreiecks.

Die Transformation, die einem Dreieck sein Polardreieck zuordnet, ist eine involutive Anwendung, dh das Polardreieck des Dreiecks (A'B'C') ist das Dreieck (ABC).

Die Seiten des Dreiecks (A'B'C') sind die zusätzlichen Winkel des Dreiecks (ABC). Was durch die folgenden Gleichheiten ausgedrückt wird: ${\ displaystyle a '+ \ alpha = \ pi \ quad b' + \ beta = \ pi \ quad c ' + \ gamma = \ pi}$ und aufgrund der Involution sind die Winkel des Polardreiecks die zusätzlichen Seiten des Dreiecks (ABC). Ist: ${\ displaystyle a + \ alpha '= \ pi \ quad b + \ beta' = \ pi \ quad c + \ gamma ' = \ pi}$

Diese Beziehungen erlauben es, aus den Fundamentalformeln die oben erwähnten dualen Formeln abzuleiten.

Historischer Überblick

Die Trigonometrie , insbesondere die sphärische Trigonometrie, verdankt viel den Astronomen und Mathematikern Griechisch Hipparchos von Nicäa und Menelaos von Alexandria , aber auch der persischen Sprache arabischen Mathematikern und indischen . Zu den bekanntesten gehören Bhāskara II , Abu Nasr Mansur , Abu l-Wafa und Al-Biruni , die die Sinusregel für jedes Dreieck sowie die Formeln für das rechtwinklige Dreieck demonstrieren. Sphärische Trigonometrie prominent in den Verträgen von arabischen Astronomie und spezifischen Verträge gewidmet , um es als sphärische Trigonometrie Abhandlung von Ibn Mu'ādh al-Jayyānī ( XI ^ten  Jahrhundert ), ein Mathematiker von Andalusien dann unter muslimischer Herrschaft oder die Nasir al-Din al- Tusi ( XIII - ^ten  Jahrhundert ).

Anwendungen

Koordinatenberechnungen  :

• in der Astronomie für Änderungen in Bezug auf die verschiedenen Winkelkoordinatensysteme: Deklination , Rektaszension , Stundenwinkel , Azimut und Zenitentfernung (oder Höhe );

• in Geographie ( Breiten- und Längengrad );
• in Optiken für die Verwendung der Poincaré-Kugel;
• in der Statistik auf dem Gebiet der Ikonographie der Zusammenhänge .

Betrachten Sie auch die Anwendung bei flachen Solarmodulen .

Hinweise und Referenzen

Anmerkungen

Verweise

Siehe auch

Zum Thema passende Artikel

• Nichteuklidische Geometrie
• Ein Dreieck lösen
• Winkelsumme eines Dreiecks
• Satz von Menelaos
• Trigonometrie des hyperbolischen Dreiecks

Externe Links

• Ein sphärischer Trigonometriekurs auf der persönlichen Website "Mathematik am Lycée" von PY Créach
• Ein "Kurs" in Kartographie und sphärischer Trigonometrie auf der persönlichen Website von David Madore
• Sphärische Trigonometrie für die Astronomie auf der persönlichen Seite "Astronomie - Himmelskugel"
• TriSph: Programm zum Lösen von sphärischen Dreiecken, konfigurierbar für verschiedene praktische Anwendungen und konfiguriert für Gnomonics
• "Deviant Planes and Simple Planes Instruction Book" ist ein arabisches Manuskript aus dem Jahr 1740, in dem die sphärische Trigonometrie mit Diagrammen diskutiert wird.